Pré-aqueça o forno a 220°C. Unte uma assadeira grande com manteiga ou forre com papel manteiga.
Divida a massa crescida em 4 porções iguais.
Em uma superfície levemente enfarinhada, abra cada porção de massa em um formato oval. Coloque cerca de um quarto do recheio de queijo no centro de cada oval.
Dobre as laterais longas da massa sobre o recheio, beliscando as pontas para formar um formato de barco. O recheio deve ficar exposto no centro.
Transfira os barcos de Khachapuri para a assadeira preparada. Asse por 15 a 20 minutos, ou até a massa dourar e o queijo borbulhar.
Retire do forno e, cuidadosamente, quebre um ovo no centro de cada Khachapuri, sobre o queijo quente. Retorne ao forno e asse por mais 5-8 minutos, ou até as claras firmarem e as gemas ainda estarem moles (ou no ponto de sua preferência).
Retire do forno. Se desejar, coloque um pedaço de manteiga sobre a gema de cada Khachapuri. Sirva imediatamente, misturando o ovo, queijo e manteiga antes de comer.